Matriks – Operasi Matriks, Rumus, Contoh Soal Matriks dan Jawabannya Lengkap

Dalam matematika, matriks adalah susunan bilangan, simbol, atau ekspresi, yang disusun dalam baris dan kolom sehingga membentuk suatu bangun persegi.

Pemanfaatan matriks misalnya dalam menemukan solusi sistem persamaan linear. Penerapan lainnya adalah dalam transformasi linear, yaitu bentuk umum dari fungsi linear, misalnya rotasi dalam 3 dimensi.

Matriks seperti halnya variabel biasa dapat dimanipulasi, seperti dikalikan, dijumlah, dikurangkan dan didekomposisikan. Dengan representasi matriks, perhitungan dapat dilakukan dengan lebih terstruktur. Dimensi matriks dapat berupa 2 x 3 (dua baris dan tiga kolom), 3 x 2 (tiga baris dan dua kolom) , 3 x 3 (tiga baris dan tiga kolom) dan lain-lain.

Pada umumnya, matriks ditulis dalam tanda kurung siku atau kurung kurawal “[]”.

Operasi Dasar Matriks

Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

Penjumlahan dan pengurangan matriks hanya bisa dilakukan jika kedua matriks memiliki ukuran atau tipe yang sama. Elemen-elemen yang dijumlahkan atau dikurangi adalah elemen yang posisi atau letaknya sama.

Penjumlahan Matriks

Pengurangan Matriks

Sifat penjumlahan dan pengurangan matriks, diantaranya yaitu:
A + B = B + A
(A + B) + C = A + (B + C)
A – B ≠ B – A

Perkalian Matriks

Matriks dapat dikalikan dengan bilangan bulat maupun dengan matriks lain. Setiap perkalian matriks, memiliki syarat masing-masing, diantaranya yaitu:

a. Perkalian Matriks Dengan Bilangan Bulat atau Perkalian Skalar Matriks

Matriks bisa dikalikan dengan bilangan bulat, maka hasil perkalian tersebut berupa matriks dengan elemen-elemennya yang merupakan hasil kali antara bilangan dan elemen-elemen matriks tersebut. Jika matriks A dikali dengan bilangan r, maka r.A =(r.a_ij). Contohnya:

Perkalian matriks dengan bilangan bulat dikombinasikan dengan penjumlahan atau pengurangan matriks bisa dilakukan pada matriks dengan ordo sama. Berikut sifat-sifat perkaliannya:

r(A + B) = rA + rB
r(A – B) = rA – rB

b. Perkalian Dua Matriks

Perkalian antara dua matriks misalnya matriks A dan B, bisa dilakukan jika jumlah kolom A sama dengan jumlah baris B. Perkalian tersebut menghasilkan matriks dengan jumlah baris sama dengan matriks A dan jumlah saman dengan matriks B, sehingga:

Elemen-elemen matriks C_(mxs) merupakan penjumlahan dari hasil kali elemen-elemen baris ke-i matriks A dengan kolom ke-j matiks B. Berikut skemanya:

Misalnya matriks A berordo (3 x 4) dan matriks B berordo (4 x 2), maka matriks C berordo (3 x 2). Elemen C pada baris ke-2 dan kolom ke-2 atau a22 diperoleh dari jumlah hasil perkalian elemen-elemen baris ke-2 matriks A dan kolom ke-2 matriks B. Contohnya:

Perlu diingat sifat perkalian dua matriks bahwa:

A x B ≠ B x A

Terbukti bahwa A x B ≠ B x A. Ada sifat-sifat lain perkalian matriks dengan bilangan atau dengan matriks lain, sebagai berikut:

k(AB) = (kA)B
ABC = (AB)C = A(BC)
A(B + C) = AB + AC
(A + B)C = AC + BC

Determinan Matriks

Determinan dari matriks A diberi notasi tanda kurung, sehingga penulisannya |A|. Determinan hanya bisa dilakukan pada matriks persegi.

Determinan matriks ordo 2×2

Determinan matriks ordo 3×3 (aturan Sarrus)

Berikut sifat-sifat determinan matriks:

1. Determinan A = Determinan AT

2. Tanda determinan berubah jika 2 baris/2 kolom yang berdekatan dalam matriks ditukar.

3. Apabila suatu baris atau kolom determinan matriks memiliki faktor p, maka p bisa dikeluarkan menjadi pengali.

4. Apabila dua baris atau dua kolom merupakan saling berkelipatan, maka nilai determinannya adalah 0.

5. Nilai determinan dari matriks segitiga atas atau bawah adalah hasil kali dari elemen-elemen diagonal saja.

Invers Matriks

Suatu matriks A memiliki invers (kebalikan) jika ada matriks B yang dapat membentuk persamaan AB = BA = I, dengan I adalah matriks identitas. Invers dari suatu matriks berordo (2 x 2) seperti   bisa dirumuskan sebagai:

Berikut sifat-sifat invers matriks:

AA^-1 = A^-1A = I
(A^-1)^-1 = A
(AB)^-1 = B^-1A^-1
Jika AX = B, maka X = A^-1B
Jika XA=B, maka X = BA^-1

Contoh Soal Matriks dan Pembahasan Matriks

1. Dua buah matriks A dan B masing-masing berturut-turut:

Maka, tentukan A-B

Pembahasan:
A-B =

2. Perhatikan matriks P dan matriks Q, berikut ini.

Tentukan matriks PQ

Pembahasan:

3. Dari dua buah matriks di bawah ini:

Tentukan 2A + B

Pembahasan:

4. Tentukan determinan dari matriks A berikut ini

Pembahasan:
det A = |A| = ad − bc = (5)(2) − (1)(−3) = 10 + 3 = 13

5. Tentukan nilai a + b + x + y dari matriks berikut ini:

Diketahui bahwa P = Q

Pembahasan:

3a = 9 → a = 3
2b = 10 → b = 5
2x = 12 → x = 6
y = 6
y = 2

Sehingga:
a + b + x + y = 3 + 5 + 6 + 2 = 16

6. Tentukan tranpose dari matriks A berikut ini:

Jawab:

7. Tentukan invers dari matriks berikut ini:

Pembahasan:

Demikian penjelasan yang bisa kami sampaikan tentang Matriks – Operasi Matriks, Rumus, Contoh Soal Matriks dan Jawabannya Lengkap . Semoga bermanfaat dan sampai jumpa pada postingan selanjutnya.