Bilangan Pangkat Pecahan : Pengertian, Rumus, Sifat Operasi Hitung dan Contoh Soal Bilangan Pangkat Pecahan Lengkap

Bilangan berpangkat adalah bentuk perkalian bilangan-bilangan yang sama atau perkalian berulang, pangkat pada bilangan tersebut bisa berupa pangkat bulat positif dan juga pangkat bulat negatif.

Notasi bilangan berpangkat adalah aⁿ yang berarti perkalian bilangan a secara berulang sebanyak n. Misalnya 8² = 8 x 8. Tapi bagaimana dengan bentuk 8^1/2 yang merupakan bilangan pangkat pecahan.

Pengertian Bilangan Berpangkat Pecahan

Pangkat pecahan berhubungan dengan operasi bentuk akar. Pecahan sendiri adalah suatu bentuk bilangan yang dituliskan sebagai m/n dengan m, n ∈ bilangan bulat dan n ≠ 0. Sedangkan bentuk bilangan berpangkat pecahan secara umum ditulis sebagai am/n dengan a ∈ bilangan real dan a ≠ 0.

Perhatikan contoh berikut ini!

Terdapat persamaan 25^a = 5 , maka nilai a ?

Jawab:
(5²)^a = 5¹
5^2a = 5¹
2a = 1
a = ½

Maka 25^½ = 5, karena √25 = 5 bisa disimpulkan bahwa √25 = 25^½.

Dari contoh tersebut, definisi pangkat pecahan dapat ditulis sebagai berikut:

a^m/n  = ⁿ√a^m dengan n > 2 dan ⁿ√a ≠ 0

Rumus Operasi Hitung Bilangan Pangkat Pecahan

a. Menentukan Hasil Bilangan Berpangkat Pecahan

Ada 2 cara yang bisa digunakan untuk menghitung hasil bilangan berpangkat pecahan dengan mudah.

1. Mengubah Pangkat Pecahan Menjadi Operasi Akar
Untuk mengubah bilangan berpangkat pecahan menjadi operasi bentuk akar, maka bisa menggunakan sifat-sifat operasi bilangan berpangkat yaitu dengan rumus berikut ini:

a^m/n  = a^{(1/n) m} = (a^1/n)m = (ⁿ√a)^m

Contoh:

125^2/3 = 125^{(1/3) x 2} = (125^1/3)² = (³√125)² = 5² = 25

2. Mengubah Bilangan Pokok Menjadi Bilangan yang Berpangkat Sama dengan Penyebut Pangkat Pecahan
Dengan cara ini, bilangan berpangkat pecahan tidak perlu diubah menjadi operasi bentuk akar. Hasil pangkat pecahan bisa diperoleh dengan operasi pangkat bilangan bulat biasa. Rumus yang digunakan dalam cara ini yaitu:

a^m/n  = (bⁿ)^m/n = b^m dengan bⁿ = a

Contoh:

125^2/3 = 5³ x ^(2/3)  = 5² = 25

b. Sifat Operasi Hitung pada Bilangan Berpangkat Pecahan

Dengan menerapkan sifat-sifat bilangan berpangkat, maka bisa menentukan hasil operasi hitung pada bilangan berpangkat pecahan. Sifat operasi hitung pada bilangan berpangkat pecahan diantaranya yaitu:

1. Sifat Perkalian Bilangan Berpangkat Pecahan
Pada operasi perkalian bilangan berpangkat pecahan berlaku sifat sebagai berikut:

a^p/q x a^r/s = a^{(p/q + r/s)}

2. Sifat Pembagian Bilangan Berpangkat Pecahan
Pada operasi pembagian bilangan berpangkat pecahan berlaku sifat sebagai berikut:

a^p/q : a^r/s = a^{(p/q – r/s)}

3. Sifat Perpangkatan Bilangan Berpangkat Pecahan
Jika bilangan berpangkat pecahan dipangkatkan lagi baik dengan pangkat bilangan bulat ataupun pangkat pecahan berlaku sifat berikut ini:

(a^p/q)^r = a^{(p/q) x r} = a^(pr/q) atau

(a^p/q)^r/s = a^{(p/q x r/s)} = a^(pr/qs)

4. Sifat Perpangkatan pada Perkalian Bilangan Berpangkat Pecahan
Sifat perpangkatan pada perkalian bilangan berpangkat pecahan adalah sebagai berikut:

(a x b)^p/q = a^p/q x b^p/q

5. Sifat Perpangkatan pada Pembagian Bilangan Berpangkat Pecahan
Sifat perpangkatan pada pembagian bilangan berpangkat pecahan adalah sebagai berikut:

(a : b)^p/q = a^p/q : b^p/q

c. Mengubah Pangkat Pecahan Negatif Menjadi Pangkat Pecahan Positif atau sebaliknya

Untuk mengubah suatu bilangan berpangkat pecahan negatif menjadi bilangan berpangkat positif atau sebaliknya, maka bisa menggunakan rumus sebagai berikut:

a^-(m/n) = 1/a^(m/n) atau

a^(m/n) = 1/a^-(m/n)

Contoh Soal Bilangan Berpangkat Pecahan dan Pembahasannya

1. Selesaikan beberapa bilangan berpangkat pecahan berikut menjadi bentuk akar:

a. 8^1/2
b. 7 ^3/2
c. 9^7/2

Cara Penyelesaian:

a. 8^1/2 = √8
b. 7^3/2 = √7³
c. 9^7/2 = √9⁷

2. Sederhanakan bentuk- bentuk pecahan di bawah ini:

a. 5^5/2 x 5^3/2
b. (6^5/2)^3/5

Cara Penyelesaian:

a. 5^5/2 x 5^3/2 = 5^(5/2)+(3/2) = 5^8/2 =5⁴ = 625
b. (6^5/2)^3/5 = 6^{(5/2 x 3/5)} = 6^15/10 = 6^3/2

3. Nyatakan bilangan-bilangan berikut ini dengan pangkat positif, lalu dengan tanda akar.

a. 2^-1/2
b. y^-4/3

Cara Penyelesaian:

a. 2^-1/2 = 1/2^1/2 = 1/²√2
b. y^-4/3 = 1/y^4/3 = 1/³√y⁴ = (1/³√y³) x (1/³√y¹) = (1/y) x (1/³√y) = 1/(y³√y)

4. Sederhanakan dan nyatakan hasilnya dengan tanda akar.

a. a^1/2 x a^1/3
b. a^1/3 x (a^2/3 + a^-1/3)

Cara Penyelesaian:

a. a^1/2 x a^1/3 = a^{(1/2 + 1/3)} = a^{(3/6 + 2/6)} = a^5/6
b. a^1/3 x (a^2/3 + a^-1/3) = (a^1/3 x a^2/3) + (a^1/3 x a^-1/3) = a^{(1/3 + 2/3)} + a^{(1/3 – 1/3)} = a^3/3 + a⁰ = a¹ + 1 = a +1

5. Hitunglah!

(1/2√2) x (³√4) x {⁴√(1/8)} x {⁶√(1/2)}

Cara Penyelesaian:

= (2^-1/2) x (4^1/3) x {(1^1/4/8^1/4)} x {(1^1/6/2^1/6)}
= (2^-1/2) x {(2²)^1/3} x (8^-1/4) x (2^-1/6)
= (2^-1/2) x (2^2/3) x {(2³)^-1/4} x (2^-1/6)
= (2^-1/2) x (2^2/3) x (2^-3/4) x (2^-1/6)
= 2^{(-1/2 + 2/3 – 3/4 – 1/6)}
=2^-9/12 = 2^-3/4 =1/⁴√2³ = 1/⁴√8

Demikian artikel pembahasan tentang”Bilangan Pangkat Pecahan : Pengertian, Rumus, Sifat Operasi Hitung dan Contoh Soal Bilangan Pangkat Pecahan Lengkap“, semoga bermanfaat dan jangan lupa ikuti postingan kami berikutnya.